Phythagoräische Zahlentriple

Pythagoräische Zahlentripel
Für die Seitenlängen a, b der Katheten und c der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks gilt nach dem Satz des Pythagoras

(1)

a2 + b2 = c2.

Man nennt nun drei positive ganze Zahlen a, b und c mit (1) ein Pythagoräisches Tripel. Schon den ägyptischen und babylonischen Mathematikern waren etliche dieser Tripel bekannt, z. B. a = 3, b = 4 und c = 5. Will man nun "alle" (natürlich unendlich viele) derartige Tripel bestimmen, so bemerkt man zunächst, daß mit jedem Tripel a, b und c für jede positive ganze Zahl d auch das Tripel d*a, d*b und d*c pythagoräisch ist und daß man umgekehrt aus

(1')

(d*a)2 + (d*b)2 = (d*c)2

ein Tripel gemäß (1) erhält. Man kann sich also auf die Bestimmung aller primitiven pythagoräischen Zahlentripel beschränken, d. h. auf solche für die der größte gemeinsame Teiler 1 ist, die also teilerfremd sind. Aus (1) folgt aber sofort, daß jeder gemeinsame Teiler von a und b schon ein gemeinsamer Teiler von c ist. Ebenso muß wegen a2 = c2 - b2 und b2 = c2 - a2 aber auch jeder gemeinsame Teiler von c und b bzw. von c und a ein gemeinsamer Teiler aller drei Zahlen sein. Man kann also für die folgenden Überlegungen voraussetzen, daß je zwei dieser drei Zahlen bereits teilerfremd sind. Insbesondere können keine zwei der drei Zahlen gerade sein. Nimmt man nun an, a und b seien beide ungerade, also etwa a = 2*n + 1 und b = 2*m + 1 mit natürlichen Zahlen n und m, so folgt

a2 + b2 = (2*n + 1)2 + (2*m + 1)2 = 4*(n2 + m2 + n + m) + 2 = c2,

d. h. c2 läßt bei Division durch 4 den Rest 2. Nun ist für eine gerade Zahl c das Quadrat c2 aber durch 4 ohne Rest teilbar, während für eine ungerade Zahl c das Quadrat bei Division durch 4 den Rest 1 läßt. Dieser Widerspruch zeigt, daß genau eine der beiden Zahlen gerade ist, etwa a, und die andere, also b, ungerade. Da c und a teilerfremd sind, muß folglich auch c ungerade sein. Damit sind c + b und c - b positive ganze Zahlen und man hat die Zerlegung

(2)

a2 = c2 - b2 = (c + b)*(c - b) = 4*((c+b)/2)*((c-b)/2) = 4*x*y

mit positiven ganzen Zahlen x = (c + b)/2 und y = (c - b)/2. Diese beiden Zahlen müssen ebenfalls teilerfremd sein, denn ein gemeinsamer Teiler von x und y ist auch ein gemeinsamer Teiler von c = x + y und b = x - y. Folglich ist jeder Primfaktor von a2/4 entweder nur Primfaktor von x oder nur Primfaktor von y. Damit sind aber x und y selbst Quadratzahlen, etwa x = s2 und y = t2 mit positiven ganzen Zahlen s und t, die wie x und y teilerfremd sein müssen. Insgesamt gilt also für jedes primitive pythagoräische Zahlentripel

(3)

a = 2*s*t, b = s2 - t2 und c = s2 + t2

mit teilerfremden positiven ganzen Zahlen s > t, von denen genau eine gerade sein muß, damit b und c ungerade sind.

Sind umgekehrt s und t derartige Zahlen, so gilt

a2 + b2 = 4*s2*t2 + (s2 - t2)2 = 4*s2*t2 + s4 - 2*s2*t2 + t4 = s4 + 2*s2*t2 + t4 = ((s2 + t2)2 = c2

also (1). Durch sämtliche Wahlen für s und t wie oben beschrieben kann man dann systematisch alle primitiven pythagoräischen Zahlentripel erzeugen. Die folgende Tabelle zeigt den Anfang einer derartigen Liste.

http://www.google.com/search?q…r%C3%A4ische+Zahlentriple

BTW: es heißt nicht Triple sondern Tripel

Komisch !! an sowas kann ich mich garnicht erinnern
dafür nur zu genau an Gleichungssysteme und komplexe Zahlen und Potenzunktionen.

Wir haben jetzt gerade Goniometrische Gleichungen. Da kommt Freude auf :] :]

ich bin in der 11ten und nichtmal allzu schlecht in Mathe, aber DAS

Zitat

Original von Klumpen
Komisch !! an sowas kann ich mich garnicht erinnern
dafür nur zu genau an Gleichungssysteme und komplexe Zahlen und Potenzunktionen.

Wir haben jetzt gerade Goniometrische Gleichungen. Da kommt Freude auf :] :]

den unsinn hat kramer doch mit uns am anfang dieses jahres versucht zu machen, aber nur als "exkurs"

ja stimmt.....ich erinnere mich langsam, nun denn

ich muss noch was on-topic posten ...mhh...

achja....

ot: ich kenne den satz des Phytagoras angewandt auf Winkelfunktionen :

sin^2 X + cos^2 X =1

ich freu mich schon darauf, wenn ich fertig bin mit der schule und das ganze mathe bis auf plus und minus wieder vergessen kann

Zitat

Original von Die Königin der Debilen
ich bin in der 11ten und nichtmal allzu schlecht in Mathe, aber DAS

lol, was meinst du? Analysis ist doch wohl etwas anspruchsvoller als pythagoräische Zahlentripel. :] :))

Zitat

ich freu mich schon darauf, wenn ich fertig bin mit der schule und das ganze mathe bis auf plus und minus wieder vergessen kann.

Ach was: Mathe ist doch cool und auch wirklich was, was man mal später gebrauchen kann. Oder was bringt es dir, wenn Du weißt, wie die Zellen in einem Blatt aussehen oder sonstwas?

Na Toll, aber ich glaube nicht, dasss mir analysis irgendetwas bringt wenn ich nicht gerade Irgendein Architekt bin ,

mir macht Mathe aber auch Spaß :]

Zitat

Original von Klumpen
Na Toll, aber ich glaube nicht, dasss mir analysis irgendetwas bringt wenn ich nicht gerade Irgendein Architekt bin ,

Bitte erwähne nie wieder irgendetwas, daß mit Mathe zu tun hat im Zusammenhang mit dem Wort "Architekt"... :O

Zitat

Ach was: Mathe ist doch cool und auch wirklich was, was man mal später gebrauchen kann. Oder was bringt es dir, wenn Du weißt, wie die Zellen in einem Blatt aussehen oder sonstwas?

:professor: Wenn man Biologe werden will: JA.

Zitat

Original von Troublegum
lol, was meinst du? Analysis ist doch wohl etwas anspruchsvoller als pythagoräische Zahlentripel. :] :))

analysis? Kaum ist unser Mathelehrer mal zwei Wochen krank vergesse ich alles. Ein Blick in mein Mathebuch verrät mir nichts über Analysis.
Und an dieses Tripel kann ich mich beim besten Willen nicht erinnern. Naja, bei dieser Kultusministerin brauch man sich nicht wundern, dass mein Intellekt den Bach runter geht.

Edit: Im Matheunterricht geht es nicht nur darum, ob man es mal beruflich braucht oder nicht. Es geht darum, dass man abstraktes Denken und das Lösen von Problemen auf eine ganz klare, systematische Art und Weise lernt.

Hm, Analysis müsste doch in der Oberstufe auf dem Lehrplan stehen. Jedenfalls bei uns war es so. In 12 kam dann noch kurz analytische Geometrie dran aber gerade Kurvendiskussionen etc. wurde uns in 11 regelrecht eingehämmert.

Zitat

Es geht darum, dass man abstraktes Denken und das Lösen von Problemen auf eine ganz klare, systematische Art und Weise lernt.

Ich wünschte, ich könnte es ;D

Gott-sei-Dank sind die meisten in meinem Mathe-GK so blöd.

Deshalb machen wir nur Wdh. von Parabeln und Koordinatengeometrie...

Anders als in den Vorjahren, bin ich dieses Jahr in Mathe erstaunlicherweise recht gut. Hatte bisher immer 10 oder 11 Punkte!!

(dafür sieht der Rest nicht gerade super aus, aber das erste HJ in der 11. ist ja eh mehr oder weniger unwichtig - ab dem zweiten gehts dann los... naja, eigentlich erst ab 12-1... pfft... ich werd eh Sportwetter oder Rockstar 8))

@...königin....

na analysis ist bei winkelfunktionen z.B.: lineare Verkettung, oder Additionstheoreme ...:professor:

Andreas warum nicht?

Zitat

Original von Klumpen
@...königin....
na analysis ist bei winkelfunktionen z.B.: lineare Verkettung, oder Additionstheoreme ...

? damit wollte ich nur sagen, dass in unserem Mathebuch nichts dergleichen zu finden ist. Jedenfalls nicht nachts um viertel 12. :O gähn

Zitat

Original von Klumpen
Andreas warum nicht?

Weil Statik die einzige Prüfung war, bei der ich durchgefallen bin. :O (bei der Wiederholung hat's dann aber zu einer 4,0 gereicht)